Drupal 8 のpage.html.twigでtaxonomyフィールド取得方法

    {% for item in node.field_tags %}
      {% if item['#title'] %}
        {{ item['#title']  }}
      {% endif %}
    {% endfor %}

のように、ループ処理をしてあげる必要があると思います（上はループの一例ですので、動作しません）。しかも、page.html.twigから取得できるのは各タームのID番号のみなので、ターム名を出力するには、IDから、ターム名を読み込む必要があります。おそらく、template_preprocess_page()　（https://api.drupal.org/api/drupal/core%21includes%21theme.inc/function/template_preprocess_page/8.2.x）で、ターム名を読み込んだ後に、変数をテンプレートに渡すほうが、綺麗でわかりやすくなると思います。

Devel Moduleに含まれている、Devel Kintをインストールすれば、
{{ kint(node) }}
のようにして、変数の中身を見やすく確認できます。

ただ、ちょっと気になるのは、page.html.twigはノード(例：記事や基本ページの本文ページ)だけでなく、ユーザーページやビューページでも使われるテンプレートなので、全てのページでtaxonomyが表示できるわけではありません。

目的によって、一概には言えませんが、もしかしたら、ビューズブロックを使うなど、他の方法があるかもしれません。